Tỉ lệ vàng ( tiếng Latinh : sectio aurea) là một tỉ lệ xác định giữa 2 số hoặc 2 đại lượng . Nó xấp xỉ khoảng 1,618 : 1 . Độ dài trong tỉ lệ vàng trong lĩnh vực Nghệ thuật , Kiến trúc được coi là một tỷ lệ siêu việt. Nó tạo cho con người một cảm giác đẹp , hài hòa và dễ chịu...
NGUỒN GỐC TỶ LỆ VÀNG:
Người ta đã phát hiện các di bút về Tỷ Lệ Vàng xuất hiện khá sớm trong các kim tự tháp ở Memphis- AI CẬP cách đây gần 300 năm.
Từ đó về sau như ta đã biết đã có khá nhiều phát hiện về sự tồn tại của Tỷ Lệ Vàng trong các hình kỹ hà tự nhiên như hình ngôi sao 5 cánh ,hình đa giác 10 cạnh… trong chuỗi số nguyên Fibonacci (người Ý) (:1,2,3,5,8,13,21,34,… thì 13/21 = 61,9% 21/34=61,76%… ngày càng tiến gần đến Tỷ Lệ Vàng với đặc điểm 8 + 13 =21 , 13+21=34…
Trong các công trình kỳ quan về kiến trúc như : quần thể kim tự tháp Cheops 233/146 + 233 = 61,48% trong đó 233m= cạnh đáy 146m= chiều cao, kim tự tháp Mikerinos: 66/180= 61,11%, trong đó 108 m= cạnh đáy, 66 m= chiều cao, dù những kích thước có bị sai lệch qua thời gian , song ta thấy chúng rất gần với Tỷ Lệ Vàng, Tháp Eiffel [184,8/300,5= 61,5% trong đó 184,8 m = chiều cao phần thân chính 300,5 m= chiều cao tháp]… và ngay trong kích thước của cơ thể con người [chiều cao rốn, chiều cao toàn thân, chiều dài cẳng tay, chiều dài cánh tay …].
Do đó tất nhiên “thước tầm” của Việt Nam với những số đo xuất phát từ kích thước của con người đều rơi vào quy luật của Tỷ Lệ Vàng: 416/266 + 416= 60,99% trong đó 416= khoảng nằm, 216= khoảng đứng (ta thấy tỷ lệ ở đây chưa chuẩn chính xác Tỷ Lệ Vàng chẳng qua cũng vì có sự chênh lệch kích thước khác nhau giữa những người thợ cả ở những vùng phường thợ khác nhau)… song tất cả chỉ có một Tỷ Lệ Vàng chuẩn mực, tuyệt diệu.
Như thế,Tỷ Lệ Vàng đã tồn tại như là một quy luật tự nhiên gắn liền với tâm lý thị giác thẫm mỹ tự nhiên của con người, con người đã phát hiện giá trị cụ thể của nó bằng toán học, hình học và cho đến ngày nay cũng chưa xác định được rõ ràng Tỷ Lệ Vàng đã xuất hiện từ lúc nào! Song có một điều mà chúng ta thấy rõ ràng, đó là: Tỷ Lệ Vàng– cây đũa thần của người kiến trúc
Tỉ lệ này chúng ta còn có thể gặp rất nhiều trong tự nhiên và toán học với tính chất rất thú vị của nó . Nó còn được gọi là phép chia liên tục hoặc là phép chia thần thánh (tiếng Latinh proportio divina ) .
1) Trước hết ta tìm hiểu về định nghĩa và tính chất cơ bản của nó :
Hai số được gọi là có tỉ lệ vàng với nhau khi tỉ lệ giữa số lớn và số bé bằng với tỉ lệ giữa tổng hai số và số lớn . Tỉ lệ này thướng được kí hiệu bằng chữ cái Hy Lạp Φ (Phi). Nếu ta gọi số lớn là a số bé là b thì ta sẽ có định nghĩa sau :
* Phi là một số vô tỉ nên ta không thể định nghĩa nó là kết quả của một phép chia 2 số (ví dụ p/q) và không thể sử dụng nó một cách chính xác tuyệt đối, mà chỉ làm tròn trong một chừng mực nào đó với một mục đích xác định ( Ý nghĩa cơ bản của nó trong tự nhiên , hoặc trong lĩnh vực nghệ thuật ) . Tất nhiên Phi cũng không phải là một số siêu việt ví dụ như π hoặc là e.
*Nếu ta lấy đoạn lớn trừ đi đoạn bé, ta sẽ được một đoạn bé hơn mà tỉ lệ của trung bình cộng 3 đoạn so với nó lại vẫn là Tỉ lệ vàng .
* Nếu một hình chữ nhật có hai cạnh tỉ lệ với nhau theo tỉ lệ vàng , người ta gọi nó là hình chữ nhật vàng. Tương tự như thế người ta gọi một tam giác là tam giác vàng nếu nó có hai cạnh tỉ lệ với nhau theo tỉ lệ vàng .
*Nếu tiếp tục ta sẽ có một góc rất có ý nghĩa sau này đó là Góc vàng Ψ (Psi):
* Ta cũng có thể gặp Tỉ lệ vàng trong dãy số vô hạn của Leonardo da Pisa mà người ta gọi là dãy số Fibonacci : (Số sau bằng tổng hai số liền trước nó)
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233.....
Có người lấy số đầu tiên là số 1 nhưng theo tôi đầu tiên phải là hai số 0 và 1.
Tại sao lại có tỉ lệ vàng trong dãy số Fibonacci ? Thật vậy , nếu dãy số đủ dài ta có thể lấy số liền sau chia cho số đứng trước nó, ta sẽ được tỉ lệ vàng 1,618033988..
Phù tạm dừng phần 1. Khi nào có sức sẽ dịch tiếp ...
2) Hình học
PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH của LE CORBUSIER:
Vẽ một hình vuông rồi chia đôi hình vuông đó ra, rồi lấy trung điểm của cạnh vuông làm tâm vẽ một cung tròn có bán kính bằng đường chéo của hình chữ nhật nửa hình vuông, sẽ giúp ta kéo dài cạnh vuông ra thành một chiều dài cân đối Tỷ Lệ Vàng với cạnh vuông. Ngoài ra ta còn có diện tích của hình vuông Tỷ Lệ Vàng với diện tích của hình chữ nhật mới hình thành bởi cạnh kéo dài.
Phương pháp LE CORBUSIER xem như có tính tổng hợp các phương pháp có trước đó, cho nên khá phong phú, toàn diện: một chiều dài hoặc một diện tích có sẵn, ta có thể tìm ra các thành phần lớn hơn và nhỏ hơn mà cân đối với nhau.
Nguyên nhân của sự yêu thích đối với tỉ lệ vàng có thể là tính bất hợp lý của nó . Điều đó có nghĩa là chính sự bất hợp lý này tạo ra sự khác biệt của nó đối với các tỉ lệ nhỏ của các số nguyên khác (Ví dụ 2/3 hay 3/4 ) , chính là điều mà sự thẩm mỹ cần. Tỉ lệ này đã và đang được dùng để giảm bớt đi sự tròn trịa của các chiều dài sao cho không có một sự đo đạc chính xác về trực quan để kiểm tra.
Các hình chữ nhật dưới đây để so sánh tỉ lệ giữa chiều dài của 2 cạnh (Ở đây là chiều rộng và chiều cao) :
Cùng với các ứng dụng các tỉ lệ này theo chiều từ trái qua phải :
4:3 Tỉ lệ truyền thống của máy thu hình (Cho cả màn màn hình máy vi tính Ví dụ 1024*768 Pixel ) Tỉ lệ này do Thomas Alva Edison năm 1898 đặt ra cho kích thước phim (35mm Film) là 24*18.
√2 : 1 Tỉ lệ 2 cạnh của một tờ giấy A4. Nếu cắt đôi theo chiều ngang ta lại được 2 tờ giấy khác với 2 cạnh theo đúng tỉ lệ này.
3:2 Tỉ lệ Film nhỏ 36mm * 24mm.
Φ : 1 Tỉ lệ vàng (Hay tỉ lệ thần thánh) ở đây đã được tính tương đối khoảng 144*89 pixel với sai số lý thuyết là 5•10-5 .
5:3 Được sử dụng bên cạnh tỉ lệ 1,85:1 cho màn hình chiếu phim ở rạp.
16:9 Tỉ lệ 2 cạnh của vô tuyến màn ảnh rộng.
Cách tạo Tỉ lệ vàng chỉ bằng Thước kẻ và Compa : thực ra có ít nhất 4 cách để tạo tỉ lệ vàng, nhưng ở đây chỉ trình bày một cách đơn giản và được nhiều người sử dụng nhất :
Trên đường thẳng vuông góc với AB dựng điểm C sao cho BC bằng 1 nửa AB.
Đường tròn tâm C bán kính CB cắt AC tại D.
Đường tròn tâm A bán kính AD cắt AB tại S.
ta sẻ có điểm S chia AB theo tỉ lệ thần thánh.
Hình Ngôi Sao
Hình ngôi sao là một biểu tượng kỳ bí có thể gọi là lâu đời nhất của lịch sử. Nó cũng có mối quan hệ với tỉ lệ thần thánh.
Thật vậy ta có thể tìm thấy ở bất kì một cạnh nào của hính ngôi sao , kể cả cạnh lớn hay cạnh bé một cạnh khác, mà 2 cạnh này tỉ lệ với nhau theo tỉ lệ thần thánh.
Ta sẽ chứng minh điều này :
Ta nhận thấy ngay là CD=CC (vì tam giác CDC´ có 2 góc bằng nhau).
Theo tam giác đồng dạng ta cũng có rằng:
Với chú ý là AB =AC + BC, và đổi tên các đoạn bằng nhau, ta sẽ quay lại đúng định nghĩa trên về Tỉ lệ vàng.
Tiếp phần 3 ....
3.Lịch sử
Hippasos (khoảng năm 450 trước công nguyên) là một người trong một tổ chức bí mật gọi là Pythagoreer trong việc nghiên cứu hình ngũ giác đã phát hiện ra rằng tỉ lệ giữa 1 cạnh của ngũ giác và một đường chéo của nó không thể là kết quả của một phép chia giữa 2 số nguyên được. Điểu này như là một điều trái ngược với Pythagoreer , bởi vì họ cho rằng có thể biểu thỉ tất cả mọi thứ dưới dạng các số nguyên. Và mỉa mai thay, Hippasos trong việc nghiên cứu hình sao 5 cánh(Biểu tượng của Pythagoreer ) đã tìm ra số vô tỉ, cũng như là tỉ lệ vàng giữa 2 số. Và cùng với việc công bố kết quả này trái với luật lệ của Pythagoreer nên Hippasos đã bị phạt.
Người đầu tiên có những miêu tả chính xác cụ thể về Tỉ lệ vàng là Euklid (khoảng năm 300 trước công nguyên ) qua việc nghiên cứu các hình đa giác, hình ngũ giác và sao 5 cánh . Các miêu tả của Euklid được dịch là ''proportio habens medium et duo extrema'' mà sau này mọi người quen với cách dịch là '' phép chia theo tỉ lệ trong và tỉ lệ ngoài'' .
Người tiếp nối Euklid sau này trong việc nghiên cứu tỉ lệ vàng là Franziskanermönch Luca Pacioli di Borgo San Sepolcro (1445 - 1514).Là một giáo viên toán ở Perugia. Ông này gọi tỉ lệ này là tỉ lệ thần thánh và kết luận rằng việc dựng các khối đa diện cần sự giúp đỡ rất lớn của tỉ lệ thần thánh. Ông gọi là ''De Divia Proportione'' và cho ra đời 3 cuốn sách riêng biệt vào năm 1509 . Trong cuốn đầu tiên ông chỉ nêu các vấn đề toán học không có một liên quan gì giữa tỉ lệ thần thánh với nghệ thuật . Trong cuốn thứ hai ông đưa ra một đoạn ngắn về sự liên quan giữa bản viết của một người Rom Vitruv từ thế kỉ 1 trước công nguyên với Kiến trúc. Trong này nói về lấy tỉ lệ người như là một khuôn mẫu. Trong cuốn sách của ông bao gồm cả một nghiên cứu của Leonardo da Vinci về người Vitruv.
Trong bức tranh nổi tiếng này của de Vinci thì tỉ lệ giữa cạnh hình vuông và bán kính của hình tròn chính là tỉ lệ vàng với độ sai lệch là 1,7 %. Độ sai lệch này không được đưa ra trong cuốn sách của ông.
Có một người nữa sau này đã kết hợp ''De Divia Proportione'' và nghiên cứu của Da Vinci để đưa ra mối liên quan giữa tỉ lệ vàng và Nghệ thuật là Adolf Zeising (1854). Ông này bị hoàn toàn thuyết phục, rằng mọi vật thể sống đều tuân theo một qui luật tự nhiên về thẩm mỹ, mà cơ bản ở đây là tuân theo tỉ lệ vàng . Ông đã tìm kiếm và nhận thấy rằng tỉ lệ vàng có ở khắp mọi nơi. Bản viết của ông nhanh chóng đã tạo ra một phấn chấn liên quan đến tỉ lệ vàng. Các nghiên cứu về lịch sử cũng cho rằng trước Zeising thì chưa có một ai tin vào tỉ lệ vàng.
Định nghĩa tỉ lệ vàng được đưa ra vào năm 1835 chỉ vài năm sau đó đã được Martin Ohm (Anh em trai của Georg Simon Ohm với định luật Ohm nổi tiếng ) đưa vào giảng dạy trong một giaó trình toán. Cụm từ sectio aurea cũng được đưa ra trong thời kì này.
Gustav Theodor Fechner nguời sáng lập ra tâm lý học thực hành đã làm một thí nghiệm vào năm 1876 và khẳng định mối liên quan giữa con người và tỉ lệ vàng.Tuy nhiên các kết quả đo về chia các đoạn và Elip lại không chỉ ra điều đó . Nhưng các thí nghiệm mới đây cho rằng các kết quả thời đó đã bị ảnh hưởng nhiều bởi các điều kiện khác nhau. Fechner tìm kiếm xa hơn ở các bức tranh viện bảo tàng ở châu âu và đưa ra kết luận là tỉ lệ theo chiều cao là 4:5 và chiều ngang là 4:3. Điều này rõ ràng là lệch với tỉ lệ vàng.
Vào những năm đầu thế kỉ 20 xuất hiện một bài viết về quan sát tỉ lệ vàng của một người Rumani Matila Costiescu Ghyka . Ông đã kết hợp giữa lí thuyết của Pacioli và nghiên cứu về thẩm mỹ của Zeising và đưa đến kết luận là Tỉ lệ vàng như là một bí ẩn của vũ trụ và từ đó dẫn đến tất cả các ví dụ trong tự nhiên.
Nói về dãy Fibonaci và số Pi bí ẩn:
________________________________________
Công thức dãy số Fibonacci
F(0)=0
F(1)=1
F(n)=F(n-1)+ F(n-2) với n>1
Kết quả dãy Fibonacci= 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 …
Không biết mọi người đọc The da Vinci code có ấn tượng với con số này không. Tỷ lệ vàng, tỷ số vàng, tỷ lệ thần thánh. Trước nay mọi thứ về chiếm tinh và thiên văn học luôn cuốn hút mình nên The da Vinci code là cuốn tiểu thuýet Bi say mê, đọc và nghiền ngẫm
Một số thông tin chung về Tỷ lệ thần thánh này
“…. số Phi bắt nguồn từ dãy số Fibonacci- một cấp số nổi tiếng không chỉ vì tổng những số hạng kề nhau sẽ bằng số hạng kế tiếp, mà còn bởi thương số của những số hạng kề nhau có một đặc tính kỳ lạ là đều suýt soát số 1,618- PHI.”
(The da Vinci code)
Dãy Fibonacci xuất hiện ở khắp nơi trong thiên nhiên. Những chiếc lá trên một nhành cây mọc cách nhau những khoảng tương ứng với dãy số Fibonacci. Các số Fibonacci xuất hiện trong những bông hoa. Hầu hết các bông hoa có số cánh hoa là một trong các số: 3,5,8,13,21,34,55 hoặc 89. Hoa loa kèn có 3 cánh, hoa mao lương vàng có 5 cánh, hoa phi yến thường có 8 cánh, hoa vạn cúc thọ có 13 cánh, hoa cúc tây có 21 cánh, hoa cúc thường có 34, hoặc 55 hoặc 89 cánh. Các số Fibonacci cũng xuất hiện trong các bông hoa hướng duơng. Những nụ nhỏ sẽ kết thành hạt ở đầu bông hoa hướng dương được xếp thành hai tập các đường xoắn ốc: một tập cuộn theo chiều kim đồng hộ, còn tập kia cuộn ngược theo chiều kim đồng hồ. Số các đường xoắn ốc hướng thuận chiều kim đồng hồ thường là 34 còn ngược chiều kim đồng hồ là 55. Đôi khi các số này là 55 và 89, và thầm chí là 89 và 144. Tất ca các số này đều là các số Fibonacci kết tiếp nhau( tỷ số của chúng tiến tới tỷ số vàng).
Dãy sổ Fibonacci được thành lập như sau :
a0=1, a1=1, aN=aN+a(N-1), với mọi N =2,3,4,5,……
Như vậy có thể ghi ra như sau dãy số Fibonacci :
1,1,2,3,5,8,13,….
Đó là dãy số nổi tiếng nhất trong Toán học và mọi quy luật về sinh sản, đẻ cành đẻ nhánh của thực vật cũng tuân thủ 1 cách kỳ lạ theo dãy số Fibonacci.
“……khía cạnh gây sửng sốt thực sự của Phi lại nằm ở vai trò của nó với tư cách là một nhân tố xây dựng mang tính nền tảng trong tự nhiên. Thực vật, động vật và thậm chí cả con người đều có những thuộc tính về kích thước gắn chặt với tỉ số giữa Phi và 1 tới một độ chính xác kỳ bí”
“Số Phi có mặt khắp nơi trong tự nhiên, rõ ràng điều đó vượt quá sự trùng hợp, và vì vậy nên người xưa cho rằng con số Phi hẳn là đã được tiền định bởi Đấng Sáng Thế. Các nhà hoa học buổi ban đầu đã tuyên bố 1,618 là Tỉ Lệ Thần Thánh”
“… các đường trôn ốc trên quả thông, cách sắp xếp lá trên những nhánh cây, các vạch trên bụng côn trùng…., tất cả đều tuân theo Tỉ Lệ Thần Thánh đến mức kinh ngạc”
“Không ai hiểu cấu trúc thần thánh của con người hơn Da Vinci. Thực tế Da Vinci đã khai quật các ngôi mộ để đo đạc chính xác tỉ lệ các cấu trúc xương trong cơ thể con người. Ông là người đầu tiên chứng minh rằng cơ thể con người, nói một cách chính xác theo nghĩa đen, được làm bằng các khối mà tỉ lệ giữa chúng luôn luôn là Phi: Đo khoảng cách từ vai đến các đầu ngón tay rồi chi nó cho khoảng cách từ khuỷu tay đến các đầu ngón tay ta được số Phi, chia khoảng cách từ đầu gối đến mặt đất cho khoảng cách từ hông đến mặt đất, một số Phi nữa, lòng bàn tay, ngón chân cái, các đốt sống….mỗi người trong các bạn đều là một minh chứng sống cho Tỉ Lệ Thần Thánh”
“Số Phi cũng được áp dụng trong các kích thước kiến trúc của các công trình nổi tiếng như đền Parthenon Hi Lạp, các kim tự tháp Ai Cập và thậm chí của cả toà nhà trụ sở Liên hợp quốc tại New York. Phi cũng xuất hiện trong cấu trúc tổ chức của các bản sonate của Mozart, bản Giao hưởng số 5 của Beethoven….”
“Để khép lại”, Langdon (Nhân vật chính trong tiểu thuyết)vừa nói vừa bước về phía chiếc bảng, “chúng ta quay trở về với các biểu tượng”. Ông vẽ năm đường giao nhau tạo nên một ngôi sao năm cách “Đây là một trong những hình ảnh đầy quyền năng nhất mà các bạn sẽ thấy trong học kỳ này. Bình thường nó được biết đến như là một hình sao năm cánh- hay là pentacle như tổ tiên ta đã gọi- biểu tượng này được nhiều nền văn hoá coi là linh thiêng và huyền bí. Có ai có thể cho tôi biết vì sao lại thế không?
Stettner, anh sinh viên khoa toán đó lại giơ tay: “Bởi vì nếu thầy vẽ một hình sao năm cánh, các đường thẳng sẽ tự chia nó thành những đoạn theo Tỉ Lệ Thần Thánh”
Langdon gật đầu đầy tự hào với chàng sinh viên: “Rất tốt. Đúng thế, tỉ lệ giữa các đoạn thẳng trong hình sao năm cánh, tất cả đều bằng Phi, khiến cho biểu tượng này trở thành biểu hiện tối hậu của Tỉ Lệ Thần Thánh. Vì lí do này hình sao năm cánh luôn luôn là biểu tưởng của vẻ đẹp và sự hoàn hảo gắn với các nữ thần và tính nữ thiêng liêng”
(The da Vinci code)
+ Nhiệt độ tối thích cho cơ thể chúng ta phát triển là 22.87 độ( chứng minh của các nhà Sinh Học). Đem số 22.87 chia cho 37 độ C( nhiệt độ của cơ thê con người ) thì đúng bằng TỈ SỐ VÀNG
+Hình chữ nhật có tỉ lệ Chiều Rộng : Chiều Dài = TỈ SỐ VÀNG sẽ đem lại cho con người ta một cảm giác hài hoà và thấy đẹp nhất. Cho nên các công trình Kiến Trúc thời Trung Cổ( đặc biệt là tại ROME) các tỉ lệ cửa, cổng,… đều tuân thủ 1 cách nghiêm ngặt theo TỈ SỐ VÀNG.
+Đo chiều cao của bạn từ RỐN lên đến đỉnh đầu gọi là x , sau đó đo chiều cao của bạn từ RỐN xuống đến chân gọi là y. Dang 2 tay ra là đo chiều dài đó gọi là a. Nếu x/y = TỈ SỐ VÀNG và a/(x+y) cũng bằng TỈ SỐ VÀNG , đó là bạn đã có 1 thân hình của các siêu mãu. Điều này hoàn toàn là sự thật vì các hãng thời trang đều tuân thủ nghiêm ngặt quy định này khi tuyển người mẫu.
+Hãy quan sát thử một bông hoa Hướng Dương, phần trung tâm của Hoa ở Nhị và Nhuỵ sẽ thấy các đường xoắn ốc Logarit đi theo đúng với Tỉ Lệ Vàng. Và các nhà Sinh Học nhận thấy rằng, bất cứ loài hoa nào được nhân loại gọi là ĐẸP thì đều có một cái gì đó bố cục liên quan đến Tỉ Lệ Vàng.
+Tỉ Lệ Vàng( hay còn gọi là Nhát Cắt Vàng ) xuất hiện khắp mọi nơi trong tự nhiên như một điều kì bí ẩn chứa sau cái đẹp. Mọi cái gì hài hoà cân đối, khiển đôi mắt chúng ta cảm thấy nó cân xứng và đẹp thì ít nhiều đều có liên quan đến Tỉ Số Vàng.
Trong toán học và nghệ thuật, hai đại lượng được gọi là có tỷ số vàng hay tỷ lệ vàng nếu tỷ số giữa tổng của các đại lượng đó với đại lượng lớn hơn bằng tỷ số giữa đại lượng lớn hơn với đại lượng nhỏ hơn. Tỷ lệ vàng thường được chỉ định bằng ký tự φ (phi) trong bảng chữ cái Hy Lạp nhằm tưởng nhớ đến Phidias, một nhà điêu khắc và kiến trúc sư của đền Parthenon. Tỷ lệ vàng là một số vô tỷ:
(wikipedia)tỉ lệ giữa cạnh dài và cạnh ngắn của hình chữ nhật bằng 1,686. Từ thời cổ đại, hình chữ nhật mà các cạnh thỏa mãn tỉ lệ này được nhiều nhà kiến trúc xem là cân đối và đẹp nhất, được gọi là hình chữ nhật “vàng”. Hình chữ nhật “vàng” có đặc điểm là có thể phân hình đó ra thành các hình chữ nhật “vàng” nhỏ hơn (trong hình chữ nhật ABCD, hình vuông ADEF vẽ trên cạnh ngắn cho ta hình chữ nhật EFBC cũng có tỉ lệ vàng; tiếp tục làm như trên ta lại có hình vuông và hình chữ nhật vàng nhỏ hơn, vv.).
Tỷ lệ này còn được tìm thấy trong vô số những kiệt tác mỹ thuật và thậm chí còn xuất hiện trong cả âm nhạc của Bethoven.
